2019年中国人民银行备考技巧之数资篇-方程法

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方程法主要掌握设未知数的技巧与解不定方程。

设未知数：设中间变量、设份数

有时所求量设为未知数不方便求解，这时候我们会去选择设关系最多的量，也就是中间变量。另外，与之前学过的倍数特性有关，如果a=3b，若设a为x，那么b=x/3，出现分数不方便求解，因此可以反其道而行，a是3的倍数，那么可以设a为3x，则b为x，运算时减少分数也就减少工作量，这就是设份数。

【例】某有色金属公司四种主要有色金属总产量的1/5为铝，1/3为铜，镍的产量是铜和铝产量之和的1/4，而铅的产量比铝多600吨。问该公司镍的产量为多少吨?( )

A.600

B.800

C.1000

D.1200

本题中所求量为镍，但直接设镍为未知数，则难以表示其他量，所以应选择关系最多的量，四种金属相关的是总产量。若设总产量为x，因为总产量的1/5为铝，1/3为铜，则铝为x/5，铜为x/3，出现分数运算会变复杂，因而考虑设份数。由“总产量的1/5为铝，1/3为铜”可知总产量既是5的倍数也是3的倍数，则可以设总产量为15x。

总产量为15x，铝为3x，铜为5x，镍为铜和铝产量之和的1/4，即镍为1/4(3x+5x)=2x，铅比铝多600，即铝为3x+600。四种金属之和为15x，即15x=3x+5x+2x+3x+600，解得2x=600，所求量镍即为2x，600吨。

本题就是在设未知数时选择设关系最多的中间变量，并且出现倍数设分数。

不定方程：尾数法、奇偶特性、倍数特性、代入排除法

未知数个数多于方程个数的为不定方程，原则上有无数个解，但在考试中可以通过以上四种方法来做，代入排除法之前有介绍过，这里重点介绍另外三种。

(1)尾数法：当出现5x、10x时优选尾数法

对于5x，无论x为几，5x的尾数只能是0或5;而10x，无论x为几，10x的尾数只能是0，在题目中需要讨论的可能性比较少。其他情况不建议用，比如4x，尾数可能是2、4、6、8、0，需要讨论的太多，不建议用尾数法。

【例】超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个?( )

A.3

B.4

C.7

D.13

题目问两种包装盒相差多少个，需知道每种包装盒多少个，设大包装盒x个，小包装盒y个，则有12x+5y=99，此为不定方程。所求为包装盒相差多少，选项无法直接代入，但出现5y可以优先使用尾数法。

如表中所示，5y的尾数只可能是0或5，99尾数是9，则12x尾数可能是9或4，但是因为12x是偶数，不可能尾数是9，则尾数只能是4。12x若尾数是4，则x取值可能是2或7，先尝试x=2，则有12×2+5y=99，解得y=15，并且题目还有一个条件“共用了十多个盒子刚好装完”即10

那么x=7还需要尝试吗?不需要了，只要有一个选项满足了题目所有条件，其他的都无需再尝试，一定有不满足题意的地方。比如x=7，则12×7+5y=99，解得y=3，那么x+y=7+3=10，与“共用了十多个盒子刚好装完”条件不符，故排除。

(2)奇偶特性

本题利用奇偶特性解题不方便，但是可以学习方法。

12x+5y=99，因为12x为偶数，99为奇数，则5y一定是奇数，因为5是奇数，则y也一定是奇数，所以y的取值为1、3、5、7、9这样的数字，依次去尝试，那么在本题中尝试到y=15才得到正确答案。

(3)倍数特性

当三项中有两项有公因数时，就可以用倍数特性解不定方程，可以本题为例。

12x+5y=99，12x是3的倍数，99也是3的倍数，则y也一定是3的倍数，我们可以变形来看12x+5y=99即5y=99-12x=3(33-4x)，5y=3(33-4x)可以得到5y是3的倍数，又因为5不是3的倍数，那么y一定是3的倍数。那么y的取值为3、6、9、12、15这样的数字，这便是倍数特性解不定方程的方法。

不定方程二：x+y+z=?使用赋“0”法

不定方程的解题方法我们掌握后，如果出现不定方程组，考试中为3个未知数、2个方程，我们只要消元将其转变为不定方程即可以运用上面的方法来解题了。但是不定方程组问题中有一类特殊的题目，问x+y+z整体的数值，那么我们还可以用赋“0”法。

【例】小刚买了3支钢笔，1个笔记本，2瓶墨水花去35元钱，小强在同一家店买同样的5支钢笔，1个笔记本，3瓶墨水花去52元钱，则买1支钢笔，1个笔记本，1瓶墨水共需( )元。

A.9

B.12

C.15

D.18

以本题为例，设钢笔单价为x，笔记本单价为y，墨水单价为z，则所求为x+y+z这个整体的数值，由小刚与小强买笔的搭配可以得到 ，消元将y去掉，则得到2x+z=17，另x=0，解得z=17，代入不定方程组得到y=1，则x+y+z=18，依次再给x赋其他值尝试。

我们会发现x无论取几，所求得的x+y+z都是固定值18。既然所求为整体值，所得必然有唯一解，若x增大，y或z会相应有所减少，既然赋任何值所得结果都一样，则同学们赋x=0就好，赋值时应选择赋系数最麻烦的项。

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